Question

11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b，⊙O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F．分别利用图1，图2用两种方法求△ABC的内切圆半径r．

Answer 1

分析 如图1，连接OE，OD，易得四边形CDOE是正方形，然后利用切线长定理，即可求得答案；
如图2，连接OD，OE，OF，OA，OB，OC，利用三角形的面积，求得答案．

解答 解：如图1，连接OE，OD，
∵⊙O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，
∴∠OEC=∠ODC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形CDOE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形CDOE是正方形，
∴CD=CE=r，
∴AE=AF=AC-CE=b-r，BD=BF=BC-CD=a-r，
∵AF+BF=AB，
∴b-r+a-r=c，
∴r=$\frac{a+b-c}{2}$；

如图2，连接OD，OE，OF，OA，OB，OC，
∵⊙O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$ab，S_△ABC=S_△OAC+S_△OBC+S_△OAB=$\frac{1}{2}$AC•OE+$\frac{1}{2}$BC•OD+$\frac{1}{2}$AB•OF=$\frac{1}{2}$br+$\frac{1}{2}$ar+$\frac{1}{2}$cr，
∴$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$br+$\frac{1}{2}$ar+$\frac{1}{2}$cr，
∴r=$\frac{ab}{a+b+c}$．

点评 此题考查了内切圆的性质、正方形的判定与性质以及直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．