Question

（1）如图①，在△ABC中，分别以AB，AC为边作等边△ABD和等边△ACE，猜想CD与BE有什么样的数量关系，直接写出结论，不需证明；
（2）如图②，在（1）的条件下，若△ABC中，AB=AC，连结DE分别交AB、AC于点M、N，猜想DM与EN有什么样的数量关系，证明你的结论；
（3）如图③，在（1）的条件下，若△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，连结DE分别交AB、AC于点M、N，则有DM=EM，请证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形性质得出AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根据SAS推出△DAC≌△BAE即可；
（2）根据等边三角形的性质得出AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，求出AD=AE，AM=AN，根据SAS推出△ADM≌△AEN即可；
（3）过D作DG⊥AB于G，证△DGB≌△ACB，推出DG=AC，求出AE=DG，∠EAM=∠DGA，根据AAS推出△DGM≌△EAM即可．

解答：解：（1）CD=EB，
理由是：∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=EB；

（2）DM=EN，
证明：∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠AMN=∠ADE+∠EAB，∠ANM=∠AED+∠EAC，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
在△ADM和△AEN中，

AD=AE ∠DAM=∠EAN=60° AM=AN

，
∴△ADM≌△AEN（SAS），
∵DM=EN；

（3）证明：过D作DG⊥AB于G，
则∠DGB=∠ACB=90°，
在△DGB和△ACB中，

∠DBG=∠ABC=60° ∠DGB=∠ACB DB=AB

，
∴△DGB≌△ACB（AAS），
∴DG=AC，
∵AE=AC，
∴AE=DG，
∵∠EAM=60°+30°=90°=∠DGA，
在△DGM和△EAM中，

∠DMG=∠AME ∠DGM=∠EAM DG=AE

，
∴△DGM≌△EAM（AAS），
∴DM=EM．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质的应用，全等三角形的判定结合全等三角形的性质证明线段相等或角相等的工具，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．