Question

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-（1-m）x+3m经过点A（-1，0），且与y轴相交于点B．
（1）求这条抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）设点C是所求抛物线上一点，线段BC与x轴正半轴相交于点D，如果$\frac{BD}{CD}$=$\frac{3}{5}$，求点C的坐标；
（3）在（2）条件下，联结AC，求∠ABC的度数．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）代入y=x²-（1-m）x+3m得到m=-1，于是得到结论；
（2）过C作CE⊥x轴于E，则CE∥y轴，根据相似三角形的性质得到$\frac{OD}{DE}$=$\frac{3}{CE}$=$\frac{3}{5}$，得到CE=5，把y=5代入y=x²-2x-3即可得到结论；
（3）解方程x²-2x-3=0得到x₁=-1，x₂=3，根据勾股定理得到AC²=（4+1）²+5²=50，DE=$\frac{5}{2}$，DC=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+{5}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，BC=$\sqrt{（5+3）^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）把A（-1，0）代入y=x²-（1-m）x+3m得：0=（-1）²+（1-m）+3m，
解得：m=-1，
∴抛物线的表达式y=x²-2x-3，当x=0时，y=-3，
∴B的坐标为（0，-3）；
（2）过C作CE⊥x轴于E，则CE∥y轴，
∴△BDO∽△CDE，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BO}{CE}$=$\frac{OD}{DE}$，即$\frac{OD}{DE}$=$\frac{3}{CE}$=$\frac{3}{5}$，
∴CE=5，
把y=5代入y=x²-2x-3得：x₁=-2（舍去），x₂=4，
∴C（4，5）；
（3）解方程x²-2x-3=0得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），
∵B（0，-3），C（4，5），
∴AC²=（4+1）²+5²=50，
∵$\frac{OD}{DE}$=$\frac{3}{5}$，OD+DE=4，
∴DE=$\frac{5}{2}$，
∴DC=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+{5}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，BC=$\sqrt{（5+3）^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴DC•BC=50，
∴AC²=DC•BC，
∵∠ACD=∠BCA，
∴△CDA∽△CBA，
∴∠ABC=∠CAD，
∵CE=AE=5，
∴∠CAD=45°，
∴∠ABC=45°．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法确定函数关系式，正确的作出辅助线是解题的关键．