Question

1．已知在△ABC中，∠B=90°，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，半径是2的⊙O沿AB向右滚动，滚动时始终与AB相切，切点为点D．过O点作OG⊥AC于点G．
（1）如图1，⊙O从点A开始，即点D与点A重合时，求OG的长；
（2）如图2，当圆心O落在AC边上时滚动停止，此时⊙O与BC相切，求BC的长；
（3）如图3，在⊙O滚动过程中，设AD=x，请用含x的代数式表示OG，并直接写出线段OG长度的最值．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OA，由tan∠OAG=tan∠BAC=$\frac{1}{2}$=$\frac{AG}{OG}$，设AG=a，则OG=2a，根据AO²=OG²+AG²，列出方程即可解决问题．
（2）如图2，设⊙O与BC相切于点E，连接OD，OE．首先证明四边形OEBD是正方形，由tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，OD=2，推出AD=4，OA=2，OD=DB=OE=BE=2，推出AB=AD+DB=6，由$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，可得BC=3．
（3）如图3，连接OD交AC于点F，由tan∠BAC=$\frac{FD}{AD}$，推出FD=AD•tan∠BAC=$\frac{1}{2}$x，AF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x推出OF=2-$\frac{1}{2}$x，由cos∠BAC=cos∠FOG=$\frac{OG}{OF}$=$\frac{AD}{AF}$推出OG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（2-$\frac{1}{2}$x）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$x+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，x的取值范围是：0≤x≤4．再根据一次函数的性质即可解决最值问题．

解答 解：（1）如图1，连接OA，

∵⊙O与AB相切，
∴OA⊥AB，
又∵OG⊥AC，
∴∠OAB=∠OGA=90°，
∵∠BAC+∠OAG=90°，∠OAG+∠AOG=90°，
∴∠OAG=∠BAC，
∴tan∠OAG=tan∠BAC=$\frac{1}{2}$=$\frac{AG}{OG}$，设AG=a，则OG=2a，
∵AO²=OG²+AG²，
∴2²=a²+4a²，
∴a=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（负根已经舍弃），
∴OG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；

（2）如图2，设⊙O与BC相切于点E，连接OD，OE．

∵⊙O与AB相切，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB=∠OEB=∠B=90°，
∴四边形OEBD是矩形，
∵OE=OD，
∴四边形OEBD是正方形，
∵tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，OD=2，
∴AD=4，OA=2，OD=DB=OE=BE=2，
∴AB=AD+DB=6，
∵$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴BC=3．

（3）如图3，连接OD交AC于点F，

∵⊙O与AB相切，
∴OD⊥AB，
∴∠FOG=90°-∠OFG，
又∵OG⊥AC，
∴∠BAC=90°-∠AFD，
又∵∠FOG=∠AFD，
∴∠FOG=∠BAC，
∵tan∠BAC=$\frac{FD}{AD}$，
∴FD=AD•tan∠BAC=$\frac{1}{2}$x，AF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x
∴OF=2-$\frac{1}{2}$x，
∵cos∠BAC=cos∠FOG=$\frac{OG}{OF}$=$\frac{AD}{AF}$
∴OG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（2-$\frac{1}{2}$x）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$x+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，x的取值范围是：0≤x≤4．
∵-$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜0，
∴OG随x的增加而减小，
∴x=0时，OG的最大值为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，x=4时，OG的值最小，最小值为0．

点评 本题考查圆综合题、锐角三角函数、勾股定理、正方形的判定和性质、切线的性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．