Question

如图，抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1.5，点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y=-x+n于点C．
（1）求直线AC及抛物线的解析式；
（2）M位于线段AB的什么位置时，PC最长，并求出此时P点的坐标；
（3）若在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使S△ABQ=

2

3

S△APB，求点Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将A（-1，0）代入y=-x+n，运用待定系数法求出直线AC的解析式；根据抛物线的对称轴为x=-

b

2a

=

3

2

，把点A的坐标代入y=ax²+bx+2，组成关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到抛物线的解析式；
（2）设M点横坐标为m，则P（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2），C（m，-m-1），得出PM=-

1

2

m²+

3

2

m+2，化成顶点式即可；
（3）根据抛物线的对称轴和A的坐标，求得B的坐标，求得AB，从而求得三角形APB的面积，进而求得三角形ABQ的面积，得出Q的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得横坐标，从而求得Q的坐标；

解答：解：（1）∵直线y=-x+n过点A（-1，0），
∴0=1+n，解得n=-1，
∴直线AC的解析式为y=-x-1；
∵抛物线y=ax²+bx+2的对称轴为直线x=

3

2

，经过点A（-1，0），
∴

- b 2a = 3 2 a-b+c=0

，
解得

a=- 1 2 b= 3 2

．
∴抛物线的解析式是：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）如图，设M点横坐标为m，则P点坐标为（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2），C点坐标为（m，-m-1）．
∵点M为线段AB上一点，
∴-1＜m＜4．
∴PC=（-

1

2

m²+

3

2

m+2）-（-m-1）=-

1

2

m²+

5

2

m+3．
∵PC=-

1

2

m²+

5

2

m+3=-

1

2

（m-

5

2

）²+

49

8

，
所以，当m=

5

2

时，PC最长，此时P（

5

2

，

21

8

），AM=

7

2

；

（3）存在；
∵抛物线y=ax²+bx+2的对称轴为直线x=

3

2

，经过点A（-1，0），
∴B（4，0）
∴AB=5，
∵S_△APB=

1

2

AB•PM=

1

2

×5×

21

8

=

105

16

，
∵S△ABQ=

2

3

S△APB，
∴S_△ABQ=

35

8

，
设Q点纵坐标为n，
∵S_△ABQ=

1

2

AB•n，
∴n=

2S△ABQ

AB

=

35 4

5

=

7

4

，
∴

7

4

=-

1

2

x²+

3

2

x+2，解得：x=

3+ 11

2

或x=

3- 11

2

，
∴Q（

3+ 11

2

，

7

4

）或（

3- 11

2

，

7

4

）

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行于坐标轴上的两点之间的距离，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．