在Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠ABC=45°.点E在线段BC上.射线ED⊥AB于点D．(1)如图1.点F在线段DE上.过F作MN∥BC.M分别交AB.AC于点M.N.点G在线段AF上.且∠GFN=∠GNF.∠GDF=∠GFD．①试判断DG与NG有怎样的位置关系?直接写出你的结论,②求证:∠1=∠2,(2)如图2.点F在线段ED的延长线上.过F作FN∥BC.M.N分别交AB.AC于点M.N.点G� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，点E在线段BC上，射线ED⊥AB于点D．
（1）如图1，点F在线段DE上，过F作MN∥BC，M分别交AB、AC于点M、N，点G在线段AF上，且∠GFN=∠GNF，∠GDF=∠GFD．
①试判断DG与NG有怎样的位置关系？直接写出你的结论；
②求证：∠1=∠2；
（2）如图2，点F在线段ED的延长线上，过F作FN∥BC，M，N分别交AB、AC于点M、N，点G在线段AF上，且∠GFN=∠GNF，∠GDF=∠GFD．试探究DG与NG的位置关系，并说明理由．

分析（1）①先由MN∥BC得出∠ANM=∠ACB=90°，即：∠GNF+∠2=90°．在Rt△AFN中，∠GFN+∠1=90°，根据∠GFN=∠GNF可得出∠1=∠2，同理可得∠DAG=∠ADG，故∠2+∠ADG=∠BAC=45°，再由D⊥AB可知∠ADF=90°，故可得出∠GDF+∠GNM的度数，再由平行线的性质求出∠DFN的度数，根据四边形内角和定理即可得出结论；
②同①可得出结论；
（2）由FN∥BC得出∠GNF+∠2=90°．在Rt△AFN中，由∠GFN+∠FAN=90°得出∠FAN=∠2，再根据ED⊥AB于D得出∠GDF+∠1=90°．在Rt△AFD中，∠GFD+∠3=90°可得出∠1=∠3．同理∠FGD=∠1+∠3=2∠3．∠FGN=∠FAN+∠2=2∠FAN，∠NGD=∠FGN-∠FGD=2∠BAC．在Rt△ABC中，根据三角形内角和定理即可得出结论．

解答解：（1）①∵MN∥BC，
∴∠ANM=∠ACB=90°，即：∠GNF+∠2=90°．
在Rt△AFN中，∠GFN+∠1=90°，
∵∠GFN=∠GNF
∴∠1=∠2．
同理可得，∠DAG=∠ADG，
∴∠2+∠ADG=∠BAC=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADF=90°，
∴∠GDF+∠GNM=180°-45°=135°．
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，DE⊥AB，
∴∠BED=45°，
∴∠DEC=135°．
∵MN∥BC，
∴∠DFN=135°，
∴∠DGN=360°-135°-135°=90°，即DG⊥NG．

②∵MN∥BC，
∴∠ANM=∠ACB=90°，即：∠GNF+∠2=90°．
在Rt△AFN中，∠GFN+∠1=90°，
∵∠GFN=∠GNF
∴∠1=∠2．

（2）DG⊥GN．
理由如下：
∵FN∥BC，
∴∠ANF=∠ACB=90°，即∠GNF+∠2=90°．
在Rt△AFN中，∠GFN+∠FAN=90°，
∵∠GFN=∠GNF
∴∠FAN=∠2．
又∵ED⊥AB于D，
∴∠ADF=90°，即：∠GDF+∠1=90°．
在Rt△AFD中，∠GFD+∠3=90°，
∵∠GDF=∠GFD，
∴∠1=∠3．
在△AGD中，∠FGD=∠1+∠3=2∠3．
在△AGN中，∠FGN=∠FAN+∠2=2∠FAN
∴∠NGD=∠FGN-∠FGD
=2∠FAN-2∠3
=2（∠FAN-∠3）
=2∠BAC．
在Rt△ABC中，∠ABC=45°，
∴∠BAC=45°．
∴∠NGD=2∠BAC=90°，
∴DG⊥GN．

点评本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和定理及直角三角形的性质、三角形外角的性质即可得出结论．

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