Question

4．已知：如图，在△ABC中，AD是高，EF是BC的垂直平分线，EF交AC于E，交BC于F，BE交AD于M．求证：点E在AM的垂直平分线上．

Answer 1

分析 根据线段垂直平分线的性质得到BE=CE，根据等腰三角形的性质得到∠BEF=∠CEF，推出AD∥EF，根据平行线的性质得到∠CEF=∠CAD，∠AME=∠MEF，等量代换得到∠EAM=∠AME，证得AE=ME，于是得到结论．

解答 证明：∵EF是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∵EF⊥BC，
∴∠BEF=∠CEF，
∵AD⊥BC，
∴AD∥EF，
∴∠CEF=∠CAD，∠AME=∠MEF，
∴∠EAM=∠AME，
∴AE=ME，
∴点E在AM的垂直平分线上．

点评 本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．