Question

如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），直线BC：y=

1

2

x+2切⊙A于点C，交x轴于点B．
（1）⊙A的半径为

 

；
（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；
（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）如图，连接AC．根据直线BC的解析式易求点B、C的坐标；然后由垂径定理，在直角△AOC中，由勾股定理可以求得半径AC的长度；
（2）过G点作x轴垂线，垂足为H，连接AG，设G（x₀，y₀），在Rt△ACG中利用锐角三角函数的定义可求出CG的长，
由勾股定理可得出BC的长，由OC∥GH可得出

OH

BO

=

CG

BC

，进而可求出G点坐标；
（3）假设△AEF为直角三角形，由AE=AF可判断出△AEF为等腰三角形，可得出∠EAF=90°，过A作AM⊥BC于M，
在Rt△AEF中利用勾股定理可求出EF的长度，证出△BOC∽△BMA，由相似三角形的性质可得出A点坐标；当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，由全等三角形的性质可得出A′点的坐标．

解答：解：（1）如图1，连接AC．
∵直线BC的解析式为y=

1

2

x+2，
∴当x=0时，y=2．
∴C（0，2）．
∴OC=2．
又∵圆心A的坐标为（1，0），
∴OA=1，
∴在直角△AOC中，由勾股定理得到：AC=

OA2+OC2

=

5

，即⊙A的半径为

5

．
故答案是：

5

；

（2）如图1，过G点作x轴垂线，垂足为H，连接AG，设G（x₀，y₀），
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=

5

，求得CG=

15

3

，
又∵OB=4，
∴BC=

OB2+OC2

=2

5

，
∵OC∥GH，
∴

OH

BO

=

CG

BC

，则OH=

2 3

3

，即x₀=

2 3

3

，
又∵点G在直线BC上，
∴y₀=

1

2

×

2 3

3

+2
=

3

3

+2，
∴G（

2 3

3

，

3

3

+2）；

（3）在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形．
∵点E、F在⊙A上，
∴AE=AF，
若△AEF为直角三角形，在∠EAF=90°，且为等腰三角形．
过A作AM⊥BC于M，
在Rt△AEF中，EF=

AE2+AF2

=

10

，
AM=

1

2

EF=

10

2

，
证出△BOC∽△BMA得，

OC

AM

=

BC

AB

，
而BC=

OC2+OB2

=

22+42

=2

5

，OC=2，可得AB=

5 2

2

，
∴OA=4-

5 2

2

，
∴A（-4+

5 2

2

，0），
当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，
过A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，
∴A′B=AB=

5 2

2

，
∴OA′=OB+A′B=4+

5 2

2

，
∴A′（-4-

5 2

2

，0），
∴A（-4+

5 2

2

，0）或A′（-4-

5 2

2

，0）．

点评：本题考查的是切线的性质及相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数的解析式，涉及面较广，难度较大．