Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，O是BC边上的一点，以点O为圆心的分分别与边AB，AC相切于点D，E连接OD，已知BD=2，AD=3．求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：扇形面积的计算,切线的性质

专题：

分析：连接OE，得到∠ADO=∠AEO=90°，根据∠A=90°，推出矩形ADOE，进一步推出正方形ADOE，得出OD∥AC，OD=AD=3，∠BOD=∠C，即可求出tanC=

2

3

；设⊙O与BC交于M、N两点，由四边形ADOE是正方形，推出∠COE+∠BOD=90°，根据tanC=

2

3

，OE=3，求出EC=

9

2

，根据S_扇形DOM+S_扇形EON=S_扇形DOE，即可求出阴影部分的面积．

解答：解：如图，连接OE，设⊙O与BC交于M、N两点，
∵AB、AC分别切⊙O于D、E两点，
∴AD⊥OD，AE⊥OE，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
又∵∠A=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ADOE是正方形，
∴OD∥AC，OD=AD=3，
∴∠BOD=∠C，
∴在Rt△BOD中，tan∠BOD=

BD

OD

，
∴tanC=

2

3

．
∵四边形ADOE是正方形，
∴∠DOE=90°，
∴∠COE+∠BOD=90°，
∵在Rt△EOC中，tanC=

2

3

=

OE

EC

，OE=3，
∴EC=

9

2

，
∴S_扇形DOM+S_扇形EON=S_扇形DOE=

1

4

S_圆O=

1

4

π×3²=

9

4

π，
∴S_阴影=S_△BOD+S_△COE-（S_扇形DOM+S_扇形EON）=

39

4

，
答：图中两部分阴影面积的和为

39

4

．

点评：本题主要考查对正方形的性质和判定，锐角三角函数的定义，扇形的面积，切线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．