Question

10．如图，∠AOB=90°．P是∠AOB的平分线OC上一点，以P为顶点作直角．
（1）以P为顶点的直角边交射线OA和射线OB于M、N
①求证：PM=PN．
②己知OP=4$\sqrt{2}$，则四边形PMON的面积S=16．
（2）如果以P为顶点的直角边交射线OA的反向延长线上一点M，交射线OB于N．那么PM=PN是否仍然成立？画出图形并说明理由．

Answer 1

分析 （1））①证明：如图1中，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，只要证明△PEM≌△PFN（ASA），即可推出PM=PN．
②只要证明四边形EOFP是正方形，由OP=4$\sqrt{2}$，推出OF=PF=PE=OE=4，推出正方形EOFP的面积为16，由S_△PEM=S_△PFN，推出四边形PMON的面积=正方形EOFP的面积，由此即可解决问题．

解答 （1）①证明：如图1中，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

∵∠AOB=∠PEO=∠PFO=90°，
∴四边形EOFP是矩形，
∴∠EPF=∠MPN=90°，
∴∠EPM=∠NPF，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
在△PEM和△PFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEM=∠PFN}\\{PE=PF}\\{∠EPM=∠FPN}\end{array}\right.$，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴PM=PN．
②解：由①可知四边形EOFP是矩形，
∵PE=PF，
∴四边形EOFP是正方形，
∵OP=4$\sqrt{2}$，
∴OF=PF=PE=OE=4，
∴正方形EOFP的面积为16，
∵S_△PEM=S_△PFN，
∴四边形PMON的面积=正方形EOFP的面积，
∴四边形PMON的面积S=16，
故答案为16．

（2）解：如图2中，结论仍然成立．

理由：∵∠AOB=∠PEO=∠PFO=90°，
∴四边形EOFP是矩形，
∴∠EPF=∠MPN=90°，
∴∠EPM=∠NPF，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
在△PEM和△PFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEM=∠PFN}\\{PE=PF}\\{∠EPM=∠FPN}\end{array}\right.$，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴PM=PN．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．