如图.在Rt△ABC中.∠B=90°.∠C=30°.AC=48.点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动.同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动.当其中一个点到达终点.另一个点也随之停止运动.设点D.E运动的时间是t秒.过点D作DF⊥BC于点F.连接DE.EF．(1)求证:AE=DF,(2)当四边形BFDE是矩形时.求t� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=48，点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）当四边形BFDE是矩形时，求t的值；
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

分析（1）由∠DFC=90°，∠C=30°，证出DF=2t=AE；
（2）当四边形BEDF是矩形时，△DEF为直角三角形且∠EDF=90°，求出t的值即可；
（3）先证明四边形AEFD为平行四边形．得出AB=3，AD=AC-DC=48-4t，若△DEF为等边三角形，则四边形AEFD为菱形，得出AE=AD，2t=48-4t，求出t的值即可；

解答解：（1）证明：在Rt△CDF中，∠C=30°
∴DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴DF=$\frac{1}{2}$•4t=2，
又∵AE=2t，
∴AE=DF．

（2）当四边形BFDE是矩形时，有BE=DF，
∵Rt△ABC中，∠C=30°
∴AB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×48=24，
∴BE=AB-AE=24-2t，
∴24-2t=2t，
∴t=6．

（3）∵∠B=90°，DF⊥BC
∴AE∥DF，∵AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
由（1）知：四边形AEFD是平行四边形
则当AE=AD时，四边形AEFD是菱形
∴2t=48-4t，
解得t=8，又∵t≤$\frac{AB}{v}$=$\frac{24}{2}$=12，
∴t=8适合题意，
故当t=8s时，四边形AEFD是菱形．

点评本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定与性质以及锐角三角函数的知识；考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．

	A．	60（x+30）+90x=480		B．	60x+90（x+30）=480
	C．	60（x+$\frac{30}{60}$）+90x=480		D．	60x+90（x+$\frac{30}{60}$）=480

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