Question

如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．
（1）猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论，

 

．
（2）将图1中的正方式CDEF，绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2的情形，BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立，证明你的判断．
（3）将图1中的正方形CDEF，绕着点C按逆时针方向旋转任意角度α，得到如图3的情形，若∠α=105°，AC=BC=2

3

+2，点E恰 好落在斜边AB上，求正方形CDEF的边长．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：计算题

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得CA=CB，再根据正方形的性质得CF=CD，∠ACD=90°，根据旋转的定义得到把△CBF绕点C顺时针旋转90°可得到△CAD，然后根据旋转的性质得BF=AD，BF⊥AD．
（2）由（1）得CB=CA，CF=CD，∠BCA=∠FCD=90°，易得∠BCF=∠ACD，所以把△CBF绕点C顺时针旋转90°可得到△CAD，根据旋转的性质得BF=AD，BF⊥AD；
（3）如图4，作EH⊥AC于H，连结CE，由于将图1中的正方形CDEF，绕着点C按逆时针方向旋转任意角度105°，根据旋转的性质得∠ACD=105°-90°=15°；再根据正方形的性质得∠CDE=45°，则∠ACE=60°，而△ABC为等腰直角三角形，则∠A=45°；在Rt△CEH中，设CH=x，根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=2x，EH=

3

x，在Rt△AEH中，根据等腰直角三角形的性质得AH=EH=

3

x，则AH+CH=

3

x+x，所以

3

x+x=2

3

+2，解得x=2，则CE=2x=4，然后根据等腰直角三角形的性质计算出CD=

2

2

CE=2

2

．

解答：解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴CA=CB，
∵四边形CDEF为正方形，
∴CF=CD，∠ACD=90°，
∴把△CBF绕点C顺时针旋转90°可得到△CAD，
∴BF=AD，BF⊥AD．
故答案为BF=AD，BF⊥AD；
（2）（1）中得到的结论仍然成立．理由如下：
由（1）得CB=CA，CF=CD，∠BCA=∠FCD=90°，
∴∠BCA+∠ACF=∠ACF+∠FCD，即∠BCF=∠ACD，
∴把△CBF绕点C顺时针旋转90°可得到△CAD，
∴BF=AD，BF⊥AD；
（3）如图4，作EH⊥AC于H，连结CE，
∵将图1中的正方形CDEF，绕着点C按逆时针方向旋转任意角度105°，
∴∠ACD=105°-90°=15°，
∵四边形CDEF为正方形，
∴∠CDE=90°，
∴∠ACE=45°+15°=60°，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
在Rt△CEH中，设CH=x，
∴CE=2x，EH=

3

x，
在Rt△AEH中，AH=EH=

3

x，
∴AH+CH=

3

x+x，
而AC=2

3

+2，
∴

3

x+x=2

3

+2，解得x=2，
∴CE=2x=4，
∴CD=

2

2

CE=2

2

，
即正方形CDEF的边长为2

2

．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质．