Question

11．阅读下列材料并解决后面的问题．
材料一：在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图），则sinB=$\frac{AD}{c}$，sinC=$\frac{AD}{b}$，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$．同理有：$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，所以 $\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$…（※）．
即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，同样地，我们还可以证明在任意的三角形中，上述结论也成立．
材料二：在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，△ABC的外接圆半径为R，则 $\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R．
问题：已知a，b，c分别为△ABC的角A，B，C的对应边，
①（b+c）：（a+c）：（a+b）=4：5：6，则sinA：sinB：sinC=7：5：3；
②若A=60°，a=$\sqrt{3}$，则$\frac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$=2；
③若bcosA=acosB，判断△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 ①先根据已知条件得出a=7k，b=5k，c=3k，再用材料二的结论即可得出结论；
②先根据材料二得出R=1，再用等比定理即可得出结论；
③根据正弦定理即可得出结论．

解答 解：①∵（b+c）：（a+c）：（a+b）=4：5：6，
∴$\frac{b+c}{4}=\frac{a+c}{5}=\frac{a+b}{6}$=2k，
∴b+c=4k，a+c=5k，a+b=6k，
∴a=7k，b=5k，c=3k，
∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$．
∴$\frac{7k}{sinA}=\frac{5k}{sinB}=\frac{3k}{sinC}$，
∴sinA：sinB：sinC=7：5：3．
故答案为：7：5：3；
②∵A=60°，a=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2=2R，
∴R=1，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$=2R=2，
故答案为：2；
③∵bcosA=acosB，
∴由正弦定理得，sinAcosB=sinBcosA，
∴sinAcosB-sinBcosA=sin（A-B）=0，
由三角形的内角和的范围得，A=B
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．

点评 此题是材料题，主要考查学生的阅读能力，等比的性质，解本题的关键读懂材料，借助已学知识解决问题．