Question

15．一元二次方程：M：ax²+bx+c=0；  N：cx²+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，以下四个结论：
①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；
②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；
③如果m是方程M的一个根，那么$\frac{1}{m}$是方程N的一个根；
④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用根的判别式与求根公式直接判断①②；利用代入的方法判断③④即可．

解答 解：①两个方程根的判别式都是△=b²-4ac，所以如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根正确；
②如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b²-4ac≥0，$\frac{c}{a}$＞0，所以a与c符号相同，$\frac{a}{c}$＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确；
③如果m是方程M的一个根，那么m²a+mb+c=0，两边同时除以m²，得$\frac{1}{{m}^{2}}$c+$\frac{1}{m}$b+a=0，所以$\frac{1}{m}$是方程N的一个根，结论正确；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax²+bx+c=cx²+bx+a，（a-c）x²=a-c，由a≠c，得x²=1，x=±1，结论错误．
正确的是①②③共3个．
故选：C．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．