Question

5．如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．
（1）求证：AE∥BC；
（2）如图（2），将（1）中的动点D运动到边BA的延长线上，仍作等边△EDC，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）证明△ACE≌△BCD推出∠ACB=∠EAC即可证．
（2）证明△DBC≌△EAC可推出∠EAC=∠ACB，由此可证．

解答 解：（1）证明：∵∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°-∠ACD，∠ACE=60°-∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△DBC和△EAC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△EAC（SAS），
∴∠EAC=∠B=60°．
又∵∠ACB=60°
∴∠EAC=∠ACB
∴AE∥BC．
（2）结论：AE∥BC，
理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形
∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°
∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△DBC和△EAC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△EAC（SAS），
∴∠EAC=∠B=60°，
又∵∠ACB=60°
∴∠EAC=∠ACB
∴AE∥BC．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质．关键是证明△ACE≌△BCD．