Question

5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M．若经过点M的反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象交AB于点N，S_矩形OABC=32，tan∠DOE=$\frac{1}{2}$，则BN的长为3．

Answer 1

分析 利用矩形的面积公式得到AB•BC=32，再根据旋转的性质得AB=DE，OD=OA，接着利用正切的定义得到an∠DOE=$\frac{DE}{OD}$=$\frac{1}{2}$，所以DE•2DE=32，解得DE=4，于是得到AB=4，OA=8，同样在Rt△OCM中利用正切定义得到MC=2，则M（-2，4），易得反比例函数解析式为y=-$\frac{8}{x}$，然后确定N点坐标，最后计算BN的长．

解答 解：∵S_矩形OABC=32，
∴AB•BC=32，
∵矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，
∴AB=DE，OD=OA，
在Rt△ODE中，tan∠DOE=$\frac{DE}{OD}$=$\frac{1}{2}$，即OD=2DE，
∴DE•2DE=32，解得DE=4，
∴AB=4，OA=8，
在Rt△OCM中，∵tan∠COM=$\frac{MC}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
而OC=AB=4，
∴MC=2，
∴M（-2，4），
把M（-2，4）代入y=$\frac{k}{x}$得k=-2×4=-8，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{8}{x}$，
当x=-8时，y=-$\frac{8}{-8}$=1，则N（-8，1），
∴BN=4-1=3．
故答案为3．

点评 本题考查了旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和解直角三角形．