Question

3．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，0），线段OA绕原点O每次按逆时针方向旋转60°，并且每旋转一次长度增加两倍，例如：OA₁=3OA，∠A₁OA=60°，那么按照此规律，A₂的坐标为（-$\frac{27}{2}$，$\frac{27\sqrt{3}}{2}$），A₁₀₀的坐标为$（-\frac{{3}^{101}}{2}，-\frac{{3}^{101}\sqrt{3}}{2}）$．

Answer 1

分析 根据题意可得每次旋转后OA_n的长度，由线段OA绕原点O每次按逆时针方向旋转60°判断出每转六次正好转一圈，可以判断出点A_n所在的象限，从而可以解答本题．

解答 解：∵在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，0），线段OA绕原点O每次按逆时针方向旋转60°，每旋转一次长度增加两倍，
∴$O{A}_{1}=3OA=3×3={3}^{2}$，$O{A}_{2}=3O{A}_{1}={3}^{3}$．
∵线段OA绕原点O每次按逆时针方向旋转60°，
∴点A₂在第二象限．
∴A₂的坐标为：（$-\frac{{3}^{3}}{2}，\frac{{3}^{3}\sqrt{3}}{2}$）．
即A₂的坐标为：$（-\frac{27}{2}，\frac{27\sqrt{3}}{2}）$．
∵线段OA绕原点O每次按逆时针方向旋转60°，
∴OA旋转6次正好转一圈．
∵100÷6=16…4，
∴第100次，点A₁₀₀在第三象限．
∴A₁₀₀的坐标为：$（-\frac{{3}^{101}}{2}，-\frac{{3}^{101}\sqrt{3}}{2}）$．
故答案为：$（-\frac{27}{2}，\frac{27\sqrt{3}}{2}）$，$（-\frac{{3}^{101}}{2}，-\frac{{3}^{101}\sqrt{3}}{2}）$．

点评 本题考查探究点的坐标的问题，关键是找出点运动的规律，判断出点每次运动后所在的象限和每次运动后OA_n的长度．