Question

4．已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点D在BC边上移动，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折，点C的对应点为C₁．
（1）当AC₁⊥BC时，CD的长是多少？
（2）如果CD=3，请求出△AC₁D与△ABC重叠部分的面积；
（3）当CD≤4时，在点D移动的过程中，是否存在△BC₁D为直角三角形的情形？若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当AC₁与BC垂直时，点E是BC的中点，有CE=$\frac{1}{2}$BC=4，由勾股定理可求得AE=3，由于C₁D=CD，A₁C=AC，在Rt△C₁DE中，由勾股定理可求得ED的值，再求得CD的值；
（2）易证△ABE∽△D₁CE，得到AB：C₁D=AE：ED=BE：EC₁，先求得ED，再得到BE与CD的关系式；
（3）分两种情况：当C₁E=ED时和当C₁E=C₁D时，可由（2）中的关系式求得．

解答 解：（1）如下图，

设AC₁交边BC于点E．
∵AC₁与BC垂直，AB=AC=5，BC=8，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△AEC中，AE=$\sqrt{{AC}^{2}{-CE}^{2}}$=3，
∵C₁D=CD，AC₁=AC=5，EC₁=AC₁-AE，ED=EC-CD，
∴在Rt△EDC₁中，有ED²+EC₁²=C₁D²，即CD²=（5-3）²+（4-CD）²，
解得：CD=$\frac{5}{2}$；
（2）
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠C₁=∠C，
∴∠C₁=∠B，
又∵∠AEB=∠DEC₁，
∴△AEB∽△DEC₁，
∴AB：DC₁=AE：DE=BE：C₁E，
∴5：C₁D=AE：（8-BE-CD）=BE：（5-AE），
∵BE=y，CD=C₁D=x，
∴5：x=AE：（8-y-x）=y：（5-AE），
解得AE=$\frac{25-xy}{5}$，y=$\frac{50（x-4）}{{x}^{2}-25}$（0＜x＜4）；
（3）存在．
当C₁E=ED时，由于△AEB∽△DEC₁，
则有y=BE=AE=$\frac{25-xy}{5}$，
∴y=$\frac{25}{x+5}$，
∴$\frac{25}{x+5}=\frac{50（x-4）}{{x}^{2}-25}$，
∴x=3，
∴CD=3，
当C₁E=C₁D时，由于△AEB∽△DEC₁，则有y=$\frac{50（x-4）}{{x}^{2}-25}$=BE=AB=5，
∴x=5-$\sqrt{10}$或x=5+$\sqrt{10}$（舍），
∴CD=5-$\sqrt{10}$，
存在△BC₁D为直角三角形，此时CD=3，或CD=5-$\sqrt{10}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了翻折的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质．用相似建立相等关系是解本题的关键．