Question

11．如图：E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 连接BP，过C作CM⊥BD，利用面积法求解，PQ+PR的值等于C点到BE的距离，即正方形对角线的一半．

解答 解：连接BP，过C作CM⊥BD，如图所示：
∵BC=BE，
∴S_△BCE=S_△BPE+S_△BPC
=$\frac{1}{2}$BC×PQ+$\frac{1}{2}$BE×PR=$\frac{1}{2}$BC×（PQ+PR）=$\frac{1}{2}$BE×CM，
∴PQ+PR=CM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，CD=BC=1，∠CBD=∠CDB=45°，
∴BD=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵BC=CD，CM⊥BD，
∴M为BD中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即PQ+PR值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法求解是解决问题的关键．