Question

已知如图，直线y=-

3

x+4与x轴相交于点A，与直线y=

3

3

x相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）求S_△OPA的值；
（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）联立两直线解析式，求出交点P坐标即可；
（2）由A的坐标确定出OA的长，由OA乘以P纵坐标求出三角形AOP面积即可；
（3）由F坐标确定出OF的长，得到E的横坐标为a，代入直线OP解析式表示出E纵坐标，即为EF的长，分三种情况考虑：当0＜a≤

3

时，矩形EBOF与三角形OPA重叠部分为直角三角形OEF，表示出三角形OEF面积S与a的函数关系式；当

3

＜a≤

4 3

3

时，重合部分为直角三角形与梯形面积之和，求出S与a函数关系式；当a＞

4 3

3

时，重合面积为三角形OPA面积，求出S与a函数关系式即可．

解答：解：（1）联立得：

y=- 3 x+4 y= 3 3 x

，
消去y得：-

3

x+4=

3

3

x，即x=

3

，
将x=

3

代入得：y=1，
则P坐标为（

3

，1）；
（2）由直线y=-

3

x+4，令y=0，得到x=

4 3

3

，即A（

4 3

3

，0），
则S_△OPA=

1

2

OA•P_纵坐标=

1

2

×

4 3

3

×1=

2 3

3

；
（3）分三种情况考虑：
当0＜a≤

3

时，由F坐标为（a，0），得到OF=a，
把E横坐标为a，代入y=

3

3

x，得：y=

3

3

a，即EF=

3

3

a，
此时S=

1

2

OF•EF=

3

6

a²（0＜a≤

3

）；
当

3

＜a≤

4 3

3

时，S=

1

2

×1×

3

+

1

2

（a-

3

）（

3

3

a+1）=

3

2

+

1

2

（

3

3

a²+a-a-

3

）=

3

6

a²（

3

＜a≤

4 3

3

）；
当a＞

4 3

3

时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S=S_△OPA=

1

2

OA•P_纵坐标=

1

2

×

4 3

3

×1=

2 3

3

．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：两直线的交点坐标，坐标与图形性质，利用了分类讨论的思想，弄清题意是解本题的关键．