Question

19．在平面直角坐标系中，边长为$\sqrt{2}$的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，顶点B，A在x，y轴正半轴上运动（x轴的正半轴，y轴的正半轴都不包含原点O）顶点C、D都在第一象限．
（1）如图1，当∠ABO=45°时，求直线OE的解析式，并说明OE平分∠AOB；
（2）当∠ABO≠45°时（如图2所示）：OE是否还平分∠AOB仍然成立？若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质结合AB=$\sqrt{2}$，∠ABO=45°，可得出点E的坐标以及四边形AOBE是正方形，从而可得出OE平分∠AOB，再由点E的坐标利用待定系数法即可求出直线OE的解析式；
（2）过点E做EF、EG分别垂直于y轴和x轴，垂足分别是点F和点G，则四边形EFOG是矩形，根据边角关系可证出△FEA≌△GEB，进而得出FE=GE，由此即可得出矩形EFOG是正方形，再根据正方形的性质即可得出OE平分∠AOB．

解答 解：（1）∵边长为$\sqrt{2}$的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，
∴AE⊥BE，AE=BE，AB=$\sqrt{2}$，∠ABE=45°，
∴由勾股定理得：AE²+BE²=AB²，即2AE²=$（\sqrt{2}）^{2}$，
∴AE=BE=1．
∵∠ABO=45°，
∴∠OBE=∠AEB=∠AOB=90°，
∴四边形AOBE是正方形，
∴OE平分∠AOB，点E的坐标是（1，1）．
设直线OE的解析式为：y=kx（k≠0），
则有1=k×1，即k=1，
∴直线OE的解析式为y=x．
（2）OE平分∠AOB仍然成立．
证明：过点E做EF、EG分别垂直于y轴和x轴，垂足分别是点F和点G，则四边形EFOG是矩形，如图所示．
∴∠FEG=90°，
∴∠FEA+∠AEG=90°．
又∵∠AEG+∠GEB=90°，
∴∠FEA=∠GEB．
在△FEA和△GEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FEA=∠GEB}\\{∠AFE=∠BGE=90°}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△FEA≌△GEB（AAS），
∴FE=GE，
∴矩形EFOG是正方形，
∴OE平分∠AOB．

点评 本题考查了正方形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）找出点E的坐标；（2）证出矩形EFOG是正方形．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据正方形的性质找出相等的边角关系是关键．