Question

9．在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3），反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象经过点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）一次函数y=ax-1的图象与y轴交于点D，与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于点E，且△ADE的面积等于6，求一次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线OE与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于第一象限的点P，将直线OE向右平移$\frac{21}{4}$个单位后，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于点Q，与x轴交于点H，若QH=$\frac{1}{2}$OP，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决．
（2）设点E（x_E，y_E），由△ADE的面积=6，得$\frac{1}{2}$•AD•|x_E|=6，列出方程即可解决．
（3）设点P（x_P，y_P），取OP中点M，则OM=$\frac{1}{2}$OP，则M（$\frac{1}{2}$x_P，$\frac{2}{3}$x_P），Q（$\frac{1}{2}$x_P+$\frac{21}{4}$，$\frac{2}{3}$x_P），列出方程求出x_P即可解决问题．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象经过点B（4，3），
∴$\frac{m}{4}$=3，
∴m=12，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{12}{x}$．

（2）∵四边形OABC是矩形，点B（4，3），
∴A（0，3），C（4，0），
∵一次函数y=ax-1的图象与y轴交于点D，
∴点D（0，-1），AD=4，设点E（x_E，y_E），
∵△ADE的面积=6，
∴$\frac{1}{2}$•AD•|x_E|=6，
∴x_E=±3，
∵点E在反比例函数y=$\frac{12}{x}$图象上，
∴E（3，4），或（-3，-4），
当E（3，4）在一次函数y=ax-1上时，
4=3a-1，
∴a=$\frac{5}{3}$，
∴一次函数解析式为y=$\frac{5}{3}$x-1，
当点（-3，-4）在一次函数y=ax-1上时，
-4=-3a-1，
∴a=1，
∴一次函数解析式为y=x-1，
综上所述一次函数解析式为y=x-1或y=$\frac{5}{3}$x-1．

（3）由（2）可知，直线OE解析式为y=$\frac{4}{3}$x，设点P（x_P，y_P），取OP中点M，则OM=$\frac{1}{2}$OP，
∴M（$\frac{1}{2}$x_P，$\frac{2}{3}$x_P），
∴Q（$\frac{1}{2}$x_P+$\frac{21}{4}$，$\frac{2}{3}$x_P），
∴H（$\frac{21}{4}$，0），
∵点P、Q在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上，
∴x_P•$\frac{4}{3}$x_P=（$\frac{1}{2}$x_P+$\frac{21}{4}$）$\frac{2}{3}$x_P，
∴x_P=$\frac{7}{2}$，
∴P（$\frac{7}{2}$，$\frac{14}{3}$），
∴k=$\frac{49}{3}$．

点评 本题考查反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，矩形的性质、坐标与图形的变化等知识，解题的关键是把问题转化为方程，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．