Question

如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点A₁，得∠A₁=

 

；∠A₁BC的平分线与∠A₁CD的平分线交于点A₂，得∠A₂；…；∠A₂₀₁₀BC的平分线与∠A₂₀₁₀CD的平分线交于点A₂₀₁₁，得∠A₂₀₁₁，则∠A₂₀₁₁=

 

．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：规律型

分析：根据角平分线的定义可得∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可求出∠A₁的度数，同理求出∠A₂，可以发现后一个角等于前一个角的

1

2

，根据此规律即可得解．

解答：解：∵A₁B是∠ABC的平分线，A₁C是∠ACD的平分线，
∴∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=

1

2

∠A，
∵∠A=α，
∴∠A₁=

α

2

；
同理可得∠A₂=

1

2

∠A₁=

1

2

•

1

2

α=

α

22

，
∴∠A_n=

α

2n

，
∴∠A₂₀₁₁=

α

22011

．
故答案为：

α

2

，

α

22011

．

点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．