Question

已知：如图1，射线MN⊥AB，点C从M出发，沿射线MN运动，AM=1，MB=4．
（1）当△ABC为等腰三角形时，求MC的长；
（2）当△ABC为直角三角形时，求MC的长；
（3）点C在运动的过程中，若△ABC为钝角三角形，则MC的长度范围

 

；若△ABC为锐角三角形，则MC的长度范围

 

．

Answer 1

考点：勾股定理,线段垂直平分线的性质

专题：动点型

分析：（1）如图1，分CB=AB，AB=AC，AC=BC三种情况进行讨论即可；
（2）当∠ACB=90°时，由勾股定理得AC²+BC²=AB²，在Rt△MCA中，由勾股定理得：AC²=AM²+CM²；在Rt△MCB中，由勾股定理得：BC²=BM²+CM²，故AM²+CM²+BM²+CM²=AB²，由此可得出CM的长；
（3）根据（2）中CM的长即可得出结论．

解答：解：（1）如图1，
当CB=AB时，在Rt△MCB，
∵MB=4，AM=1，
∴AB=5，
∴CM=

52-42

=3；
当AB=AC时，
在Rt△MCA，
CM=

52-12

=

24

；
当AC=BC时，C在AB的垂直平分线上，与条件不合．

（2）如图，∵当∠ACB=90°时，由勾股定理得AC²+BC²=AB²，
又∵在Rt△MCA，由勾股定理得：AC²=AM²+CM²，
在Rt△MCB由勾股定理得：BC²=BM²+CM²，
∴AM²+CM²+BM²+CM²=AB²，
∵AM=1，MB=4，AB=5，
∴CM²+16=25，解得CM=2；

（3）∵由（2）得，当CM=2时，△ABC是直角三角形，
∴0＜CM＜2时，△ABC为钝角三角形；当CM＞2时，△ABC为锐角三角形．
故答案为：0＜CM＜2，CM＞2．

点评：本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．