Question

16．如图，平面直角坐标系中，$A（\sqrt{3}，0），B（{-3\sqrt{3}，0}），C（0，3）$，l是AB的垂直平分线交BC于D，交x轴于F，连接AD交y轴于E，P为l上D点上一点，且DP=DE，将△DCE绕E逆时针旋转后，边CE交线段DC于M，边DE交线段DF于N，连接PM，若PM=3DN，则点N的坐标为（-$\sqrt{3}$，$\frac{17-\sqrt{33}}{8}$）．

Answer 1

分析 先证明△DCE、△PDC是边长为2的等边三角形，再证明△DEN≌△CEM，得DN=CM，设DN=CM=a，则PM=3a，在RT△PMG中利用勾股定理列出方程即可解决问题．

解答 解：如图所示，连接PC，作MG⊥PC于G．
∵$A（\sqrt{3}，0），B（{-3\sqrt{3}，0}），C（0，3）$，
∴tan∠CBO=$\frac{CO}{BO}$=$\sqrt{3}$，tan∠CAO=$\frac{CO}{AO}$=$\sqrt{3}$，
∴∠CBO=30°，∠CAO=60°，∠ACB=90°，
∴BC=2CO=6，
∵DF垂直平分AB，
∴BD=DA，∠DBA=∠DAB=30°，
∴BD=DA=4，DF═DP=2，DC=2，∠CDA=∠DAB+∠DAB=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∵DP=DC，∠PDC=60°，
∴△CDP是等边三角形，
∵∠MEN=∠DEC=60°，
∴∠DEN=∠MEC，
在△DEN和△CEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCE=∠EDN=60°}\\{DE=DC}\\{∠DEN=∠CEM}\end{array}\right.$，
∴△DEN≌△CEM，
∴DN=CM，设DN=a，则CM=a，PM=3a，
在RT△CMG中，∵∠MGC=90°，∠MCG=60°，CM=a，
∴CG=$\frac{a}{2}$，GM=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，PG=2-$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
在RT△PGM中，∵PM²=PG²+MG²，
∴（3a）²=（2-$\frac{a}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$）²，
∴a=$\frac{-1+\sqrt{33}}{8}$或$\frac{-1-\sqrt{33}}{8}$（不合题意舍弃）
∴NF=DF-DN=$\frac{17-\sqrt{33}}{8}$．
∴N（-$\sqrt{3}$，$\frac{17-\sqrt{33}}{8}$），
故答案为N（-$\sqrt{3}$，$\frac{17-\sqrt{33}}{8}$）．

点评 本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是寻找全等三角形，学会利用勾股定理列方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．