Question

5．如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）上，将正方形沿x轴负方向平移m个单位长度后，点C恰好落在双曲线上，则m的值是2．

Answer 1

分析 作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F，易证△OAB≌△FDA≌△BEC，求得A、B的坐标，根据全等三角形的性质可以求得C、D的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得G的坐标，则m的值即可求解．

解答 解：作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F．
∵A（1，0），B（0，3），
∴OB=3，OA=1．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAF=90°，
又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠DAF=∠OBA，
在△OAB和△FDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠OBA}\\{∠BOA=∠AFD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△OAB≌△FDA（AAS），
同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，
∴AF=OB=EC=3，DF=OA=BE=1，
故D的坐标是（4，1），C的坐标是（3，4）．代入y=$\frac{k}{4}$，
得：k=4，则函数的解析式是：y=$\frac{4}{x}$．
OE=4，
则C的纵坐标是4，把y=4代入y=得：x=1．即G的坐标是（1，4），
∴CG=2．
故答案为：2

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得C、D的坐标是关键，题目的综合性较强，难度不小，对学生的解题能力要求很高．