Question

如图，抛物线y=-x²+3x+4的图象交x轴于A，B，交y轴于C，点P是抛物线的一点，若以△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：求出A、C坐标，从而可求出AC的解析式，再根据互相垂直的两直线比例系数之积为-1，求出PC的解析式，与抛物线组成方程组即可求出点P的坐标．

解答：解：当y=0时，-x²+3x+4=0，解得x₁=-1，x₂=4．
A点坐标为A（4，0），
C（0，4）．
设AC解析式为y=kx+b，
把A（4，0），C（0，4）分别代入解析式得

4k+b=0 b=4

，
解得

k=-1 b=4

，
故解析式为y=-x+4．
（1）当CP₁⊥AC时，设CP₁解析式为y=x+n，
把（0，4）代入得n=4，
解析式为y=x+4，
与抛物线y=-x²+3x+4组成方程组得

y=x+4 y=-x2+3x+4

，
解得

x1=0 y1=4

，

x2=2 y2=6

．
P₁坐标为（2，6）．
（2）当AP₂⊥AC时，设AP₂解析式为y=x+m，
把（4，0）代入得m=-4，
解析式为y=x-4，
与抛物线y=-x²+3x+4组成方程组得

y=x-4 y=-x2+3x+4

，
解得

x3=-2 y3=-6

，

x4=4 y4=0

．
P₂坐标为（-2，-6）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，知道以下两点是解题的关键：①互相垂直的两直线比例系数之积为-1；②方程组的解是交点坐标．