Question

7．如图，正比例函数y=kx（k＞0）的图象与反比例函数y₁=$\frac{1}{x}$，y₂=$\frac{2}{x}$，…，y${\;}_{2015}=\frac{2015}{x}$的图象在第一象限内分别交于点A₁，A₂，…，A₂₀₁₅，点B₁，B₂，…，B₂₀₁₄分别在反比例函数y₁=$\frac{1}{x}$，y₂=$\frac{2}{x}$，…，y${\;}_{2014}=\frac{2014}{x}$的图象上，且A₂B₁，A₃B₂，…，A₂₀₁₅B₂₀₁₄分别与y轴平行，连接OB₁，OB₂，…，OB₂₀₁₄，则△OA₂B₁，△OA₃B₂，…，△OA₂₀₁₅B₂₀₁₄的面积之和为1007．

Answer 1

分析 延长A₂B₁，A₃B₂，A₄B₃，分别与x轴交于C₁，C₂，C₃，如图所示，利用反比例函数k的几何意义分别求出△OA₂B₁，△OA₃B₂，…，△OA₂₀₁₅B₂₀₁₄的面积，即可求出面积之和．

解答 解：延长A₂B₁，A₃B₂，A₄B₃，分别与x轴交于C₁，C₂，C₃，如图所示：
∵y₁=$\frac{1}{x}$，y₂=$\frac{2}{x}$，
∴S_△OA2B1=S_△A20C1-S_△B1C10=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
∵y₂=$\frac{2}{x}$，y₃=$\frac{3}{x}$，
∴S_△OA3B2=S_△A30C2-S_△B2C2=$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$；
依此类推，S_{△OA2015B2014}=$\frac{1}{2}$，
则△OA₂B₁，△OA₃B₂，…，△OA₂₀₁₅B₂₀₁₄的面积之和为$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2}$=$\frac{2014}{2}$=1007．
故答案为：1007．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点，弄清题中的规律是解本题的关键．