Question

4．已知：△ABC内接于⊙O，∠B=60°，点E是直径CD的延长线上的一点，且AE=AC．
（1）求证：AE是⊙O的切线．
（2）若DE=1，用扇形OAMC围成一个圆锥的侧面，求该圆锥的表面积．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，进而得出∠EAO=90°，即可得出答案；
（2）首先求出AD=ED=1，进而求得圆的半径为1，求得扇形的面积和弧长，根据弧长求得圆锥的底面积，然后即可求得圆锥的表面积．

解答 （1）证明：连接AO，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AO=CO，AE=AC，
∴∠E=∠ACE，∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠EAC=120°，
∴∠EAO=90°，
∴AE是⊙O的切线；

（2）解：连接AD，
∵DC是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
∵∠ADC=∠B=60°，∠E=30°，
∴∠EAD=30°，
∴∠E=∠EAD，
∴AD=ED=1，
∵∠ACD=30°，
∴DC=2AD=2，
∴OC=1，
∴S_扇形OAMC=$\frac{120π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{1}{3}$π，
弧AC的长：$\frac{120π×1}{180}$=$\frac{2}{3}$π，
圆锥底的面积：π（$\frac{\frac{2}{3}π}{2π}$）²=$\frac{1}{9}$π，
∴该圆锥的表面积：$\frac{1}{3}$π+$\frac{1}{9}$π=$\frac{4}{9}$π．

点评 此题主要考查了圆周角定理以及切线的判定、等腰三角形的性质等知识，作出辅助线构建直角三角形和等腰三角形是解题关键．