Question

18．四边形ABCD为菱形，点P为对角线BD上的一个动点．

（1）如图1，连接AP并延长交BC的延长线于点E，连接 PC，求证：∠AEB=∠PCD．
（2）如图1，当PA=PD且PC⊥BE时，求∠ABC的度数．
（3）连接AP并延长交射线BC于点E，连接 PC，若∠ABC=90°且△PCE是等腰三角形，求∠PEC的度数．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性质，易得∠PDA=∠PDC，AD=CD，利用SAS定理证得△PAD≌△PCD，由全等三角形的性质及平行线的性质得到结论；
（2）方法一，首先利用等腰三角形的性质得∠PAD=∠PDA，设∠PAD=∠PDA=x，利用外角性质易得∠BPC=2x，因为PC⊥BE，得x，得∠ABC的度数；方法二，利用平行线的性质易得CM⊥AD，由全等三角形的判定得△PAM≌△PDM，得AM=DM，由垂直平分线的性质得AC=CD=BC=AB，得△ABC是等边三角形，得∠ABC的度数；
（3）分类讨论：①当点E在BC的延长线上时，首先利用等腰三角形的性质得CP=CE，易得∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP，由正方形的性质得∠PBA=∠PBC=45°，由全等三角形的判定得△ABP≌△CBP，易得∠BAP=∠BCP=2∠CEP，因为∠BAP+∠PEC=90°，求得∠PEC的度数；②当点E在BC上时，同理得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠PDA=∠PDC，AD=CD  AD∥BC，
在△PAD与△PCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠PDA=∠PDC}\\{PD=PD}\end{array}\right.$，
∴△PAD≌△PCD（SAS），
∴∠PAD=∠PCD，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PAD=∠PCD；

（2）解：如图1，
（方法一）∵PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA，
设∠PAD=∠PDA=x，则∠BPC=∠PDC+∠PCD=∠PDA+∠PAD=2x
∵PC⊥BE
∴2x+x=90°，
∴x=30°，
∴∠ABC=2x=60°；
（方法二）：延长CP交AD于M，
∵AD∥BC，PC⊥BC，
∴CM⊥AD
∵PA=PD，
∴△PAM≌△PDM （HL），
∴AM=DM，
∴CM垂直平分AD
连接AC，则AC=CD=BC=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°；

（3）解：①当点E在BC的延长线上时，如图2，△PCE是等腰三角形，则CP=CE，
∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴∠PBA=∠PBC=45°，
在△ABP与△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠PBA=∠PBC}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP
∵∠BAP+∠PEC=90°，2∠PEC+∠PEC=90°，
∴∠PEC=30°；
②当点E在BC上时，如图3，△PCE是等腰三角形，则PE=CE，
∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°
∴菱形ABCD是正方形，
∴∠PBA=∠PBC=45°，又AB=BC，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∵∠BAP+∠AEB=90°，2∠BCP+∠BCP=90°
∴∠BCP=30°，
∴∠AEB=60°，
∴∠PEC=180°-∠AEB=120°，
综上所述：∠PEC=30°或∠PEC=120°．

点评 本题主要考查了菱形的性质和正方形的性质，全等三角形的判定及性质，数形结合，利用方程思想和分类讨论是解答此题的关键．