Question

3．如图，已知在⊙O中，AB=4$\sqrt{3}$，AF=6，AC是直径，AC⊥BD于F，图中阴影部分的面积是（　　）

• A． $\frac{8}{3}$π-2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{16}{3}$π-2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{8}{3}$π-4$\sqrt{3}$
• D． $\frac{16}{3}$π-4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用勾股定理求得BD=2BF=4$\sqrt{3}$，连接OB、OD、BC，先求得∠ABC=90°，进而根据射影定理求得FC=2，从而求得直径的长，根据余弦函数求得∠BAF=30°，进而得出∠BOD=120°，最后根据S_阴影=S_扇形-S_△BOD即可求得阴影的面积．

解答 解：∵AC是直径，AC⊥BD于F，
∴BF=DF，$\widehat{BC}$=$\widehat{DC}$，
∴∠BAC=∠DAC，
在RT△ABF中，BF=$\sqrt{A{B}^{2}-A{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴BD=2BF=4$\sqrt{3}$，
连接OB、OD、BC，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∴BF²=AF•FC，即（2$\sqrt{3}$）²=6FC，
∴FC=2，
∴直径AC=AF+FC=6+2=8，
∴⊙O的半径为4，
∵AB=4$\sqrt{3}$，AF=6，
∴cos∠BAF=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{6}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BAF=30°，
∴∠BAD=60°，
∴∠BOD=120°，
∵OC=4，FC=2，
∴OF=2，
∴S_阴影=S_扇形-S_△BOD=$\frac{120π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×2=$\frac{16}{3}$π-4$\sqrt{3}$；
故选D．

点评 本题考查了垂径定理，扇形的面积、及直角三角函数和勾股定理等知识，难度适中．