Question

4．如图，点M将线段AB分成两部分，如果$\frac{AM}{AB}=\frac{BM}{AM}$，那么称点M为AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁、S₂，如果$\frac{{S}_{1}}{S}=\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）如图2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点M，请问点M是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ABC在（1）的条件下，如图（3），请问直线CM是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；
（3）如图4，在梯形ABCD中，若AB=3，CD=1过C作直线CN交AB于N，分梯形ABCD成四边形ANCD及△CNB，请问直线CN能否成为梯形ABCD的黄金分割线？若能，求AN的长；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）易证△BCM∽△BAC，则有$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BM}{BC}$，再由BC=CM=AM可得$\frac{AM}{AB}$=$\frac{BM}{AM}$，由此可得M是AB边上的黄金分割点；
（2）设△ABC的边AB上的高为h，则S_△AMC=$\frac{1}{2}$AM•h，S_△MBC=$\frac{1}{2}$MB•h，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•h，即可得到$\frac{{S}_{△AMC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AM}{AB}$，$\frac{{S}_{△MBC}}{{S}_{△AMC}}$=$\frac{BM}{AM}$．由（1）得$\frac{AM}{AB}$=$\frac{BM}{AM}$，则有$\frac{{S}_{△AMC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△MBC}}{{S}_{△AMC}}$，由此可得CM是△ABC的黄金分割线；
（3）由于S_梯形ABCD、S_{四边形ANCD}、S_△CNB的比例顺序不定，需分两种情况讨论．对于每一种情况，只需设AN=x，然后根据以上三个面积之间的等量关系建立方程，并解这个方程就可解决问题．

解答 解：（1）点M是边AB上的黄金分割点，理由如下：
∵∠A=36°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=72°．
∵CM平分∠ACB，∴∠ACM=∠MCB=36°，
∴∠BMC=∠B=72°，∠ACM=∠A=36°，
∴BC=MC=AM．
∵∠A=∠BCM，∠B=∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BM}{BC}$．
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{BM}{AM}$．
∴M是AB边上的黄金分割点；

（2）直线CM是△ABC的黄金分割线，理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h，则
S_△AMC=$\frac{1}{2}$AM•h，S_△MBC=$\frac{1}{2}$MB•h，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•h，
∴$\frac{{S}_{△AMC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AM}{AB}$，$\frac{{S}_{△MBC}}{{S}_{△AMC}}$=$\frac{BM}{AM}$．
∵M是AB的黄金分割点，
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{BM}{AM}$，
∴$\frac{{S}_{△AMC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△MBC}}{{S}_{△AMC}}$．
∴CM是△ABC的黄金分割线；

（3）直线CN能成为梯形ABCD的黄金分割线．
设梯形ABCD的高为h，分两种情况：
①当S_梯形ANCD²=S_梯形ABCD•S_△NBC时，
设AN=x，则有[$\frac{1}{2}$（1+x）h]²=$\frac{1}{2}$（1+3）h•$\frac{1}{2}$（3-x）h，
整理得：x²+6x-11=0，
解得：x₁=-3+2$\sqrt{5}$，x₂=-3-2$\sqrt{5}$（舍去），
②当S_△NBC²=S_梯形ABCD•S_梯形ANCD时，
设AN=x，则有[$\frac{1}{2}$（3-x）h]²=$\frac{1}{2}$（1+3）h•$\frac{1}{2}$（1+x）h，
整理得：x²-10x+5=0，
解得：x₁=5-2$\sqrt{5}$，x₂=5+2$\sqrt{5}$（舍去），
∴AN=-3+2$\sqrt{5}$，或AN=5-2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的面积公式、解一元二次方程等知识，需要注意的是：当比例顺序不确定时，应分情况讨论，避免出现漏解的现象．