Question

7．已知点A在函数y₁=-$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象上，点B在直线y₂=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y₁，y₂图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（　　）

• A． 有1对或2对
• B． 只有1对
• C． 只有2对
• D． 有2对或3对

Answer 1

分析 根据“友好点”的定义知，函数y₁图象上点A（a，-$\frac{1}{a}$）关于原点的对称点B（-a，$\frac{1}{a}$）一定位于直线y₂上，即方程ka²-（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a-1）（ka-1）=0，据此可得答案．

解答 解：设A（a，-$\frac{1}{a}$），
由题意知，点A关于原点的对称点B（-a，$\frac{1}{a}$）在直线y₂=kx+1+k上，
则$\frac{1}{a}$=-ak+1+k，
整理，得：ka²-（k+1）a+1=0 ①，
即（a-1）（ka-1）=0，
∴a-1=0或ka-1=0，
则a=1或ka-1=0，
若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；
若k≠0，则a=1或a=$\frac{1}{k}$，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，
综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，
故选：A．

点评 本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标，将“友好点”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键．