Question

3．已知，如图1，在?ABCD中，∠DAC=90°，∠CAB=30°，以AD为边在?ABCD的内部作等腰△EAD，ED=EA，∠EAD=30°，AE=2$\sqrt{3}$．
（1）求△EAD的面积．
（2）若△EAD以每秒2个长度单位的速度沿DC方向向右平行移动，得到△E₀A₀D₀，设运动时间为t秒，当点E₀刚好落在AC上时，求运动时间t．
（3）如图2，在（2）中，当△EAD停止移动后得到△EBC，将△EBC绕点E按逆时针方向旋转α（0°＜α＜60°），在旋转过程中，B的对应点为B₁，C的对应点为C₁，B₁C₁分别与BC，BE交于G，H两点，BC与EC₁交于点F，是否存在这样的α，使△C₁FG为等腰三角形？若存在，求出α的度数和FG的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先构造出直角三角形，得出有一个锐角为30°的直角三角形，求出AD，根据三角形的面积公式直接得出；
（2）先判断出∠EAB是直角，由平移得出∠AA₀E₀=90°，在含有30°的直角三角形中求出EE₀即可；
（3）分三种讨论计算，前两种情况不满足0°＜α＜60°，只有第三种情况满足，再构造直角三角形求出即可．

解答 解：（1）如图，

过点E作EG⊥AD，
∵ED=EA，
∴AD=2AG，
在Rt△AGE中，ED=EA，∠EAD=30°，AE=2$\sqrt{3}$，
∴EG=$\sqrt{3}$，AG=3，
∴AD=2AG=6，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$AD×EG=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$；
（2）如图2，
∵∠CAD=90°，∠DAE=30°，
∴∠CAE=60°，
∵∠CAB=30°，
∴∠BAE=90°，
由平移知，A₀E₀=AE=2$\sqrt{3}$，EE₀=AA₀，∠AA₀E₀=90°，
∴AA₀=$\sqrt{3}$A₀E₀=6，
∴EE₀=6，
∴t=6÷2=3；
（3）如图3，由平移得，CE=2$\sqrt{3}$，∠BCE=30°，
由旋转知，∠EC1B1=30°，
∵△C₁FG为等腰三角形，
①当C₁F=C₁G时，∠C₁FG=∠C₁GF=$\frac{1}{2}$（180°-∠EC₁B₁）=75°，
∴∠CFE=75°，
∵∠BCE=30°，
根据三角形的内角和得，∠CEF=75°，
∵△EBC绕点E按逆时针方向旋转α（0°＜α＜60°），
∴此种情况不符合题意，舍去，
②当GC₁=GF时，∠GFC₁=∠EC₁B₁=30°，
∴∠CFE=30°，
根据三角形内角和得，∠CEF=180°-∠ECB-∠CFE=120，
∵△EBC绕点E按逆时针方向旋转α（0°＜α＜60°），
∴此种情况不符合题意，舍去，
③当FC₁=FG时，∠C₁GF=∠EC₁B₁=30°，
∴∠CFE=∠C₁FG=180°-∠C₁GF-∠EC₁B₁=120°，
根据三角形内角和得，∠CEF=30°，
∴FC=FE
过点F作FM⊥CE，
∴ME=$\frac{1}{2}$CE=$\sqrt{3}$，
在Rt△EFM中，∠FEM=30°，ME=$\sqrt{3}$，
∴EF=2，
∴FC₁=C₁E-EF=CE-EF=2$\sqrt{3}$-2，
∴FG=FC₁=2$\sqrt{3}$-2．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平移和旋转的性质，解本题的关键是判断出∠EAB=90°．