Question

8．如图，在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，点E是斜边AB上的一点，作EF⊥AB交边BC于点F连结EC，若BE：EA=1：2，则∠ECF的余弦值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． -$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 过E作DE⊥BC，可得出ED与AC平行，由平行得比例求出ED与AC之比，根据三角形ABC为等腰直角三角形，得到三角形BEF也为等腰直角三角形，设BE=x，得到AE=2x，进而表示出EC与DC，利用锐角三角函数定义求出cos∠ECF的值即可．

解答 解：过E作DE⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴ED∥AC，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{ED}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵EF⊥AB，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴BD=ED=DF，
设BE=x，则有AE=2x，AB=3x，
∴BD=ED=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，BC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x，即DC=BC-BD=$\sqrt{2}$x，
∴EC=$\frac{\sqrt{10}}{2}$x，
则cos∠ECF=$\frac{DC}{EC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故选A

点评 此题考查了等腰三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定义是解本题的关键．