Question

3．在直角坐标系中，A点的坐标为（a，0），B点的坐标为（0，b），E点的坐标为（0，-b），C点的坐标为（c，0）且a、b、c满足$\sqrt{a-12}+（a+b）^{2}+（c+4）^{2}=0$．
（1）求a、b、c的值；
（2）如图，点M为射线OA上A点右侧一动点，过点M作MN⊥EM交直线AB于N，连BM．问是否存在点M，使S_△AMN=$\frac{3}{2}$S_△AMB？若存在，求M点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若Q（4，8），点P为x轴上A点右侧的一点，作AH⊥PQ，垂足为H，取HG=HA（如图），连接CG，GO，①∠CGQ的大小不变，②∠QGO的大小不变，请你再这两个结论中选取一个正确的结论，并求其值．

Answer 1

分析 （1）根据非负数是性质：几个非负数的和为零，这几个非负数为零，即可解决．
（2）如图1中，连接AE、EN，作NF⊥OA于F，思想利用四点共圆证明△EMN是等腰直角三角形，再证明△EMO≌△MNF得NF=MO，MF=EO=12，设点M（m，0），列出方程解决．
（3）∠CGQ的大小不变，如图2中，连接QA、QC，过C作CT⊥PQ于T，过Q作QS⊥x轴于点S，先证明△CQT≌△QAH，再证明△TCG是等腰直角三角形即可．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-12}$+（a+b）²+（c+4）²=0，
$\sqrt{a-12}$≥0，（a+b）²≥0，（c+4）²≥0，
∴a=12，b=-12，c=-4．
（2）如图1中，连接AE、EN，作NF⊥OA于F．
∵OA=OE=OB=12，∠EOA=∠AOB=90°，
∴∠EAO=∠AEO=∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠EAB=∠EAN=90°，
∵∠EAN=∠EMN=90°，
∴四边形EAMN四点共圆，
∴∠EAO=∠ENM=45°，
∴∠MEN=∠MNE=45°，
∴EM=MN，
∵∠EMO+∠NMF=90°，∠NMF+∠MNF=90°，
∴∠EMO=∠MNF，
在△EMO和△MNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOM=∠MFN}\\{∠EMO=∠MNF}\\{EM=MN}\end{array}\right.$，
∴△EMO≌△MNF，
∴NF=MO，MF=EO=12，设点M（m，0），
∵S_△AMN=$\frac{3}{2}$S_△AMB
∴$\frac{1}{2}$×（m-12）×m=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$×（m-12）×12，
∴m=18，
∴点M坐标为（18，0）
（3）∠CGQ的大小不变不改变，理由如下：
如图2中，连接QA、QC，过C作CT⊥PQ于T，过Q作QS⊥x轴于点S，
∵Q（4，8），C（-4，0），A（12，0），
∴S（4，0），
∴MS垂直平分AC，
∴QC=QA8，
∴QS=AS=SC，
∴∠CQA=90°，
∴∠CQT+∠QMH=∠TCQ+∠CQT=90°，
∴∠TCQ=∠AQH，
在△CMT和△MAH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CTQ=∠QHA=90°}\\{∠TCQ=∠AQH}\\{CQ=QA}\end{array}\right.$，
∴△CQT≌△QAH（AAS），
∴TQ=AH，CT=QH，
又AH=HG，
∴QT=GH=AH，
∴GT=GQ+QT=QG+GH=QH=CT，
∴△CGT是等腰直角三角形，
∴∠CGQ=45°，
即当点P在点A右侧运动时，∠CGQ的度数不改变．

点评 本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，利用特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．