Question

如图所示，已知AB∥CD，分别探索下列四个图形中∠P与∠A，∠C的关系．
（1）请你从所得的四个关系中任选一个加以说明；
（2）请你说说是利用什么知识证明的．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）如图①，过P作PE∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补可以得到∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，所以∠P+∠A+∠C=360°；
如图②，延长AP交CD于点F，根据两直线平行，内错角相等可以得到∠A=∠PFC，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可得到∠APC=∠A+∠C；
如图③，先根据AB∥CD可得出∠A=∠1，再由三角形外角的性质得出∠1=∠P+∠C，即∠P=∠1-∠C=∠A-∠C，故可得出结论；
如图④，根据两直线平行，内错角相等可以得到∠4=∠C，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可得到∠APC=∠C-∠A．
（2）根据（1）中的证明过程可得出结论．

解答：解：（1）如图①，
结论：∠A+∠P+∠C=360°．
理由：如图（2），过P作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，
∴∠APC+∠A+∠C=∠1+∠2+∠A+∠C=360°，∠A+∠P+∠C=360°；
如图②，结论：∠APC=∠A+∠C；
理由：延长AP交CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠PFC=∠A，
∵∠APC=∠PFC+∠C，
∴∠APC=∠A+∠C；
图③，结论：∠P=∠A-∠C．
理由：如图③所示，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠1，
∵∠1=∠P+∠C，
∴∠P=∠1-∠C=∠A-∠C
图④结论：∠P=∠C-∠A；
理由：∵AB∥CD，
∴∠3=∠C，
∵∠3=∠APC+∠A，
∴∠APC=∠C-∠A．

（2）由（1）可知，用到的知识为：平行线的性质及三角形内角和定理．

点评：本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用平行线的性质求解是解答此题的关键．