Question

14．如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，BN，CM为高，P是BC的中点，连接MN，MP，NP，则以下结论：①NP=MP；②当∠ABC=60°时，MN∥BC；③BN=2AN；④当∠ABC=45°时，BN=$\sqrt{2}$PC，其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①由BN、CM为高，P为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得NP=MP；
②由BN、CM为高与∠A是公共角，易证得△AMN∽△ABC，然后由∠BAC=60°与∠ABC=60°，可得△ABC是等边三角形，则易得∠AMN=∠ABC=60°，即可得MN∥BC；
③根据锐角三角函数的定义，可得③错误；
④由已知条件得到△BCM是等腰直角三角形，得到BM=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，推出BM=CM=$\sqrt{2}$PC，由于BN≠CM，故④错误．

解答 解：①∵BN、CM为高，
∴∠BMC=∠BNC=90°，
∵P为BC的中点，
∴NP=MP，故①正确；

②∵BN、CM为高，
∴∠BNA=∠CMA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△BNA∽△CMA，
∵∠BAC=60°，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴△AMN也是等边三角形，
∴∠AMN=∠ABC=60°，
∴MN∥BC，故②正确；

③∵∠ABC=60°，
tan60°=$\frac{BN}{AN}$=2，与$\sqrt{3}$矛盾，故③错误；

④∵∠ABC=45°，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴BM=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，
∵BC=2CP，
∴BM=CM=$\sqrt{2}$PC，
∵BN≠CM，
∴BN≠$\sqrt{2}$PC，故④错误；
故选B．

点评 此题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．