Question

8．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，过点O作OE⊥BC于H交⊙O于E，在OE的延长线上取一点D，使∠ODB=∠AEC，AE与BC交于F．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当⊙O的半径是5，BF=2$\sqrt{11}$，EF=$\frac{11}{3}$时，求CE及BH的长．

Answer 1

分析 （1）由同弧所对的圆周角相等得到∠AEC=∠ABC，再由已知∠ODB=∠AEC，等量代换得到∠ABC=∠ODB，在直角三角形BDF中，利用直角三角形两锐角互余得到一对角互余，等量代换得到∠OBD为直角，即可得到BD是圆O的切线；
（2）证明△CEF∽△ABF，得出对应边成比例求出CE，由勾股定理求出BE和AE，得出AF，求出CF，得出BC的长，由垂径定理得出BH的长．

解答 解：（1）BD是⊙O的切线；理由如下：
∵∠AEC与∠ABC都对$\widehat{AC}$，
∴∠AEC=∠ABC，
∵∠ODB=∠AEC，
∴∠ABC=∠ODB，
在Rt△BDF中，∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；

（2）∵∠A=∠C，∠ABF=∠CEF，
∴△CEF∽△ABF，
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{EF}{BF}$=$\frac{CF}{AF}$，即$\frac{CE}{10}=\frac{\frac{11}{3}}{2\sqrt{11}}$，
解得：CE=$\frac{5}{3}\sqrt{11}$；
连接BE，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴BE=$\sqrt{B{F}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{5}{3}\sqrt{11}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{25}{3}$，
∴AF=AE-EF=$\frac{25}{3}$-$\frac{11}{3}$=$\frac{14}{3}$，
∴$\frac{CF}{\frac{14}{3}}$=$\frac{\frac{11}{3}}{2\sqrt{11}}$，
解得：CF=$\frac{7\sqrt{11}}{9}$，
∴BC=BF+CF=$\frac{25\sqrt{11}}{9}$，
∵OE⊥BC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{25\sqrt{11}}{18}$．

点评 此题考查了切线的判定、直角三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．