题目内容
15．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y1=-x2关于直线x=1对称，可得到抛物线C2．且C1和C2交于点P，顶点分别是点O和点Q．（1）求抛物线C2的表达式；
（2）定义：像C1和C2两条抛物线，将其中一条只通过直线x=m对称得另一条，且∠OPQ=90°，这样的抛物线称为和谐线，那么抛物线C1和C2是和谐线吗？请说明理由；
（3）在（2）的定义条件下，求抛物线y=x2-2x-3的和谐线．
分析 （1）根据图形左加右减，可得函数解析式；
（2）①根据两条抛物线，将其中一条只通过直线x=m对称得另一条，且∠OPQ=90°，这样的两条抛物线成为“和谐线”，可得△OPQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
②根据两条抛物线，将其中一条只通过直线x=m对称得另一条，且∠OPQ=90°，这样的两条抛物线成为“和谐线”，可得△EPQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
解答 
解：（1）如图1，∵O与Q关于直线x=1对称，
∴Q（2，0），
∴将抛物线C1向右平移2个单位得到抛物线C2：y1=-（x-2）2；
（2）抛物线C1和C2是和谐线，理由如下：如图2，
由∠OPQ=90°，OP=PQ，得
∠POG=45°，OG=QG=$\frac{1}{2}$OQ=m，
当x=m时，y=-m2，即P（m，-m2）．
由∠POG=45°，∠OGP=90°，得
OG=GP，即|m|=|-m2|，
解得m=0（舍）、m=1、或m=-1（舍去），
∴点O与点Q关于直线x=1对称，
∴抛物线C1与抛物线C2关于直线x=1对称，
综上所述：当C1和C2是和谐线；
②如图3，
y=x2-2x-3=（x-1）2-4，抛物线y=x2-2x-3的和谐线y=（x-1-2m）2-4，
由△PEQ是等腰直角三角形，得△PFQ是等腰直角三角形，即PF=FQ．
当x=1+$\frac{m}{2}$时，y=$\frac{{m}^{2}}{4}$-4，即P（1+$\frac{m}{2}$，$\frac{{m}^{2}}{4}$-4），
FP=--（$\frac{{m}^{2}}{4}$-4）=$\frac{{m}^{2}}{4}$．
$\frac{m}{2}$=$\frac{{m}^{2}}{4}$．解得m=2，m=0（舍），
抛物线y=x2+2x-3的和谐线y=（x-1）2-4，
同理向左对称，m=-2，
抛物线y=x2+2x-3的和谐线y=（x+3）2-4，
综上所述：抛物线y=-x2-2x+3的和谐线y=（x-1）2-4或y=（x+3）2-4．
点评 本题考查了二次函数综合题，利用两条抛物线成为“和谐线”得出△EPQ是等腰直角三角形是解题关键．
目标测试系列答案
如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，过点O作OE⊥BC于H交⊙O于E，在OE的延长线上取一点D，使∠ODB=∠AEC，AE与BC交于F．
平行于直线EC，且直线
| A． | $\frac{3}{4}$ | B． | $\frac{4}{3}$ | C． | -$\frac{3}{4}$ | D． | -$\frac{4}{3}$ |
＝__________．