Question

20．小红看到这样一道题“如图，AC=AD，BA平分∠CBD，求证：BC=BD”她很快给出了证明过程如下：
证明：∵BA平分∠CBD∴∠ABC=∠ABD
在△ABC和△ABD中，AC=AD，∠ABD=∠ABD，AB=AB
∴△ABC≌△ABD∴BC=BD
你认为她的证明过程正确吗？正确说出每一步的理论证据；不正确，请你写出正确的证明过程．

Answer 1

分析 过A作AE⊥BC交BC延长线于E，AF⊥BD交BD延长线于F，则∠E=∠F=90°，根据角平分线性质得出AE=AF，∠EBA=∠FBA，根据HL求出Rt△AEC≌Rt△AFD，根据全等得出EC=FD，同理BE=BF，即可得出答案．

解答 不正确，
证明：
过A作AE⊥BC交BC延长线于E，AF⊥BD交BD延长线于F，
则∠E=∠F=90°，
∵BA平分∠CBD，AE⊥BC交BC，AF⊥BD，
∴AE=AF，∠EBA=∠FBA，
在Rt△AEC和Rt△AFD中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$
∴Rt△AEC≌Rt△AFD（HL），
∴EC=FD，
同理Rt△AEB≌Rt△AFB，
∴BE=BF，
∴BE-EC=BF-FD，
∴BC=BD．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，解此题的关键是能求出Rt△AEC≌Rt△AFD和Rt△AEB≌Rt△AFB．