Question

5．已知如图，抛物线y=ax²+bx+2与x轴相交于B（x₁，0）、C（x₂，0）（x₁，x₂均大于0）两点，与y轴的正半轴相交于A点．过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A，其面积为$\frac{25π}{4}$．
（1）请确定抛物线的解析式；
（2）M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交⊙P于点D．若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MB•MD的值．（先画出符合题意的示意图再求解）．

Answer 1

分析 （1）根据题意结合垂径定理的推论得出B，C点坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式；
（2）根据题意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有两种情况：①∠ABD和∠AOB对应，此时AD是⊙P的直径，②∠BAD和∠AOB对应，此时BD是⊙P的直径，所以直线MB过P点，分别求解．

解答 解：（1）根据题意知：圆半径PA=$\frac{5}{2}$，取BC中点为E，连接PB，PE，则PE⊥BC
且PB=PA=$\frac{5}{2}$，PO=OA=2，
由勾股定理和圆性质知：
BE=CE=$\frac{3}{2}$，
从而知：B（1，0），C（4，0），
将B，C两点坐标代入抛物线方程y=ax²+bx+2得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式是：$y=\frac{1}{2}{x^2}-\frac{5}{2}x+2$；

（2）根据题意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有两种情况：
①如图2，∠ABD和∠AOB对应，此时AD是⊙P的直径，
则AB=$\sqrt{5}$，AD=5，BD=2$\sqrt{5}$，
∵Rt△AMB∽Rt△DAB，
∴$\frac{MA}{AD}$=$\frac{AB}{BD}$，
即MA=$\frac{AB•AD}{BD}=\frac{5}{2}$
又∵Rt△AMB∽Rt△DMA
∴MA：MD=MB：MA
即MB•MD=MA²=$\frac{25}{4}$；

②如图3，∠BAD和∠AOB对应，此时BD是⊙P的直径，所以直线MB过P点，
∵B（1，0），P（$\frac{5}{2}$，2），
设直线MB的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{\frac{5}{2}k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线MB的解析式是：$y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$
∴M点的坐标为（0，$-\frac{4}{3}$）
∴AM=$\frac{10}{3}$，
∵△MAB∽△MDA，
∴$\frac{MA}{MD}$=$\frac{MB}{MA}$，
∴MB•MD=MA²=$\frac{100}{9}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及待定系数法求函数解析式等知识，根据题意利用分类讨论得出MB•MD的值是解题关键．