如图1.已知一次函数y=x+3与x轴.y轴分别交于B点.A点.x正半轴上有一点C.∠ACO=60°.以A.B.C为顶点作?ABCD．(1)求C点坐标,(2)如图2.将直线AB沿y轴翻折.翻折后的直线交CD于E点.在y轴上有一个动点P.x轴上有一动点Q.当DP+PQ+QE取得最小值时.求此时2的值,(3)如图3.将△AOC向左平移使得点C与坐标原点O重合.A的对应点为A′.O的对应点为O� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．如图1，已知一次函数y=x+3与x轴，y轴分别交于B点，A点，x正半轴上有一点C，∠ACO=60°，以A，B，C为顶点作?ABCD．
（1）求C点坐标；
（2）如图2，将直线AB沿y轴翻折，翻折后的直线交CD于E点，在y轴上有一个动点P，x轴上有一动点Q，当DP+PQ+QE取得最小值时，求此时（DP+PQ+QE）²的值；
（3）如图3，将△AOC向左平移使得点C与坐标原点O重合，A的对应点为A′，O的对应点为O′，将△A′O′O绕点O顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤180°），在旋转过程中，直线AB与直线A′O′、A′O交于M，G两点，在旋转过程中，△A′MG能否成为等腰三角形，若能，求出所满足条件的α，若不能，请说明理由．

分析（1）先求得A（0，3）则OA=3，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OC的长，则可得到点C的坐标；
（2）由关于y轴对称点的坐标特点可得到AE的解析式，然后依据相互平行的直线的一次项系数相同以及点C的坐标可求得CD的解析式，然后再求得点E的坐标，作点E关于x轴的对称点，E′，D点关于y轴的对称点D′，连接E′D′分别交y轴和x轴与点P、Q，则D′E′的长为DP+PQ+QE的最小值，最后利用两点间的距离公式求解即可；
（3）先根据题意画出图形（见答图：图2、图3、图4、图5），然后依据等腰三角形的性质性质，三角形的外角和的性质、依据旋转角的定义求解即可．

解答解：（1）把x=0代入直线AB的解析式得：y=3，
∴A（0，3）．
∴OA=3．
∵在Rt△AOC中，∠ACO=60°，
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×3=$\sqrt{3}$．
∴C（$\sqrt{3}$，0）．

（2）∵直线AE与直线AB关于y轴对称，
∴AE的解析式为y=-x+3．
设直线CD的解析式为y=kx+b．
∵AB∥CD，
∴k=1．
∴直线的解析式为y=x+b．
将点C的坐标代入得：$\sqrt{3}$+b=0，解得：b=-$\sqrt{3}$．
∴直线CD的解析式为y=x-$\sqrt{3}$．
将y=-x+3与y=x-$\sqrt{3}$联立解得：x=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，y=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．
∴E（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$）．
作点E关于x轴的对称点，E′，D点关于y轴的对称点D′，连接E′D′分别交y轴和x轴与点P、Q．

∵E（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$），点E与点E′关于x轴对称，
∴E′（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$）
∵AD′=AD=BC=3+$\sqrt{3}$，
∴D′（-3-$\sqrt{3}$，3）．
∴（DP+PQ+QE）²=D′E′²=（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$+3+$\sqrt{3}$）²+（3+$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$）²=48+9$\sqrt{3}$．

（3）如图2所示：当NM=NA′时．

∵NM=NA′，
∴∠A′MN=∠MA′N=30°．
∴∠BNO=60°．
∵OB=OA，∠AOB=90°，
∴∠ABO=45°．
∴∠BON=180°-45°-60°=75°．
∴∠BOB′=75°-60°=15°，即α=15°．
如图3所示：当A′M=A′N时．

∵A′M=A′N，
∴∠A′MN=∠A′NM．
又∵∠A′MN+∠A′NM=∠BA′O=30°，
∴∠MNA′=15°．
∴∠BON=180°-∠OBN-∠BN0=120°．
∵∠O′OA′=60°，
∴∠BOO′=60°，即α=60°．
如图4所示：当MN=MA′时．

∵MN=MA′，
∴∠MNA′=∠MA′N=30°．
∵∠MBO=45°，
∴∠BON=15°．
∴∠BOA′=165°．
∴∠BOO′=165°-60°=105°，即α=105°．
如图5所示：当A′N=A′M时．

∵A′N=A′M，∠NA′M=30°，
∴∠MNA′=75°．
∵∠NBO+∠BON=∠MNA′，
∴∠BON=75°-45°=30°．
∴∠A′Ox=30°．
∴∠O′Ox=30°．
∴∠BOO′=150°，即α=150°．
综上所述，当a为15°或60°或105°或150°时，△A′MN为等腰三角形．