题目内容
9．在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、BC为边向外作正方形ADEB和正方形BCFH．（1）当BC=m时，正方形BCFH的周长= （用含m的代数式表示）；
（2）连接CE．试说明：三角形BEC的面积等于正方形BCFH面积的一半．
（3）已知AC=BC=2，且点P是线段DE上的动点，点Q是线段BC上的动点，当P点和Q点在移动过程中，△APQ的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）直接由正方形的性质得出答案即可；
（2）连接AH，证明△BHA≌△BCE，利用△BHA的面积=△BCE的面积得出结论；
（3）作点A关于DE的对称点A′，点A关于BC的对称点F，利用对称的性质得出△APQ的周长的最小值为A′F，进一步求得问题即可．
解答 解：（1）∵四边形BCFH是正方形，
∴BC=BH=FH=CF，
∴当BC=m时，正方形BCFH的周长为4m，
故答案为：4m；
（2）如图1，连接AH，
在△BHA和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{∠CBE=∠ABH}\\{BC=BH}\end{array}\right.$
∴△BHA≌△BCE（SAS），
∴△BHA的面积=△BCE的面积=$\frac{1}{2}$正方形BCFH的面积；
（3）△APQ的周长存在最小值．
如图2，作点A关于DE的对称点A
∴AP=A′P
∵点A关于BC的对称点F，
∴AQ=QF，
∴△APQ的周长的最小值为A′F，
过A′作A′M⊥FA交FA的延长线于M，
∵△AA′M为等腰直角三角形，
∴AA′=4$\sqrt{2}$，
∴MA=MA′=4，
∴MF=8，A′F=4$\sqrt{5}$，
∴△APQ的周长的最小值为4$\sqrt{5}$．
点评 此题综合考查正方形的性质，对称的性质，勾股定理的运用以及利用对称性求最短距离的问题，对于求最短距离的问题体现了建模思想的运用，注意辅助线的作法．
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