Question

14．如图，AD、BE、CF是锐角△ABC的三条高，H为垂心，取AH的中点O，射线EO交AB于点P，DF交BE于点Q，求证：PQ⊥BC．

Answer 1

分析 根据高线的性质，可得∠AFC=∠ADC=90°，根据垂心性质，可得四点共圆，根据余角的性质，可得∠PEH+∠HFQ=90°，再根据四点共圆的判定与性质，可得∠PQE=∠PFE，∠PQE=∠AHE，根据平行线的判定，可得PQ∥AH．

解答 证明：如图，
∵AD、BE、CF是锐角△ABC的三条高，
∴∠BFD+∠CFD=90°，∠AEO+∠PEH=90°．
∵∠AFC=∠ADC=90°，
∴A、F、D、C四点共圆，
∴∠DFC=∠DAC．
∵OE是Rt△斜边上的中线，
∴AO=OE，
∴∠OAE=∠OEA．
∴∠PEH+∠HFQ=90°，
∴∠PEQ+∠PFQ=180°．
∴FQEP四点共圆．
∴∠PQE=∠PFE．
∵A、F、H、E四点共圆，
∴∠AFE=∠AHE，
∴∠PQE=∠AHE，
∴PQ∥AH
∴PQ⊥BC．

点评 本题考查了三角形的五心，利用垂心的性质得出四点共圆是解题关键，又利用同弦所对的圆周角相等．