Question

（本题满分12分）问题提出：平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆．那么平面内的四点(任意三点均不在同一直线上），能否在同一个圆呢？

初步思考：设不在同一条直线上的三点、、确定的圆为⊙．

（1）当、在线段的同侧时，

如图①，若点在⊙上，此时有，理由是 ；

如图②，若点在⊙内，此时有 ；

如图③，若点在⊙外，此时有 ．（填“”、“”或“”）；

由上面的探究，请直接写出、、、四点在同一个圆上的条件： ．

类比学习：（2）仿照上面的探究思路，请探究：当、在线段的异侧时的情形．

如图④，此时有 ，如图⑤，此时有 ，

如图⑥，此时有 ．

由上面的探究，请用文字语言直接写出、、、四点在同一个圆上的条件：

．

拓展延伸：（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？

已知：如图，是⊙的直径，点在⊙上，求作：．

作法：①连接，；

②在 上任取异于、的一点，连接，；

③与相交于点，延长、，交于点；

④连接、并延长，交直径于；

⑤连接、并延长，交⊙于N．连接． 则．

请按上述作法在图④中作图，并说明的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）

Answer 1

（1）同弧所对的圆周角相等，，，答案不唯一，如：；

（2），，，若四点组成的四边形对角互补，则这四点在同一圆上；

（3）如图即为所作，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据题中所给的图，是非常熟悉的同弧所对的两个圆周角，故相等，后面两空可取特殊情况作判断，第四空可根据图①写出条件，但答案不唯一；（2）仿照（1）中对点与圆的三种位置关系展开讨论，可以结合圆内接四边形对角互补得到图④的结论，后面两空同样可以取特殊情况判断；（3）按部就班作图不难，而在证明垂直过程中，根据提示要用到（2）的结论，即对角互补时四点共圆，故可结合圆的性质、圆内接四边形的性质、三角形中位线逆定理、平行线性质等予以证明.

试题解析：（1）同弧所对的圆周角相等，，，答案不唯一，如：；

（2）如图即为所作.

此时，此时，此时；

（3）如图即为所作.

是⊙的直径，、在⊙上 ，

点是三条高的交点 ， 点、、、在同一个圆上

又点、、、在⊙上 ，

考点：1.分类讨论；几何作图；3. 圆的性质、圆内接四边形的性质、三角形中位线逆定理、平行线性质的综合应用.