Question

已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+2k=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求代数式x₁•x₂-x₁²-x₂²的最大值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）根据判别式的意义得到△=（2k+1）²-4（k²+2k）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到得x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²+2k，再变形得到x₁•x₂-x₁²-x₂²=3x₁•x₂-（x₁+x₂）²，则原式=3（k²+2k）-（2k+1）²=-k²+2k-4，然后利用二次函数的最值问题求解．

解答：解：（1）根据题意得△=（2k+1）²-4（k²+2k）≥0，
解得k≤

1

4

；
（2）根据题意得x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²+2k，
所以x₁•x₂-x₁²-x₂²=x₁•x₂-（x₁²+x₂²）
=x₁•x₂-[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]
=3x₁•x₂-（x₁+x₂）²
=3（k²+2k）-（2k+1）²
=-k²+2k-4
=-（k-1）²-3，
而k≤

1

4

，
所以k=

1

4

时，原代数式有最大值，最大值=-（

1

4

-1）²-3=-

57

16

．

点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．