Question

10．某宾馆共有80个房间可供顾客居住．宾馆负责人根据前几年的经验作出预测：今年5月份，该宾馆每天的房间空闲数y（间）与每天的定价x（元/间）之间满足某个一次函数关系，且部分数据如表所示．

每天的定价x（元/间）	208	228	268	…
每天的房间空闲数y（间）	10	15	25	…

（1）该宾馆将每天的定价x（元/间）确定为多少时，所有的房间恰好被全部订完？
（2）如果宾馆每天的日常运营成本为5000元，另外，对有顾客居住的房间，宾馆每天每间还需支出28元的各种费用，那么单纯从利润角度考虑，宾馆应将房间定价确定为多少时，才能获得最大利润？并请求出每天的最大利润．

Answer 1

分析 （1）待定系数法求出y关于x的一次函数解析式，令y=0求出x的值即可；
（2）根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．

解答 解：（1）设y=kx+b，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{208k+b=10}\\{228k+b=15}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=-42}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{4}$x-42，
当y=0时，$\frac{1}{4}$x-42=0，
解得：x=168，
答：宾馆将每天的定价为168元/间时，所有的房间恰好被全部订完．

（2）设每天的利润为W元，根据题意，得：
W=（x-28）（80-y）-5000
=（x-28）[80-（$\frac{1}{4}$x-42）]-5000
=-$\frac{1}{4}$x²+129x-8416
=-$\frac{1}{4}$（x-258）²+8225，
∵当x=258时，y=$\frac{1}{4}$×258-42=22.5，不是整数，
∴x=258舍去，
∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，
答：宾馆应将房间定价确定为256或260元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．

点评 本题考查待定系数法求一次函数解析式及二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．