Question

7．阅读下面的问题：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}-1$；
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{（2+\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}$=2-$\sqrt{3}$
…
（1）求$\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}$的值；
（2）已知m是正整数，求$\frac{1}{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}}$的值；
（3）计算$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$…+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}$+$\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}$．

Answer 1

分析 （1）由规律可得，$\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}$=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$；
（2）利用分母有理化化简，可得结果；
（3）先利用分母有理化化简，再计算可得结果．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{8}-\sqrt{7}}{（\sqrt{8}+\sqrt{7}）（\sqrt{8}-\sqrt{7}）}$=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$；
（2）原式=$\frac{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}}{（\sqrt{m+1}-\sqrt{m}）（\sqrt{m+1}+\sqrt{m}）}$=$\sqrt{m+1}+\sqrt{m}$；
（3）原式=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$$-\sqrt{2}$+2$-\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2015}$$-\sqrt{2014}$+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$，
=$\sqrt{2016}-1$，
=12$\sqrt{14}$-1．

点评 本题主要考查了利用分母有理化，利用平方差公式，找出有理化因式是解答此题的关键．