Question

5．在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．

（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；
（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形．

Answer 1

分析 （1）求出OD的长，根据时间=$\frac{路程}{速度}$，计算即可．
（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，分两种情形分别列出方程，即可解决问题．

解答 解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC=∠OAB=90°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOQ=45°，
∴AO=OD=2，DO=2$\sqrt{2}$，
∴t=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2．

（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，
如图1，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，

∵∠POQ=45°，
∴∠OPG=45°，
∵OP=$\sqrt{2}$t，
∴OG=PG=t，
∴点P的坐标为（t，t），
又∵Q（2t，0），B（6，2），
根据勾股定理：PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t²，
①若∠PQB=90°，则有PB²=PQ²+BQ²，
即：（6-t）²+（2-t）²=（6-2t）²+2t，
解得：t=2或0（舍去），
∴t=2．
②若∠PBQ=90°，则有PQ²=PB²+BQ²，
∴（6-t）²+（2-t）²+（6-2t）²=2t²，
解得：t=5±$\sqrt{5}$．
∴t=2或5±$\sqrt{5}$时，△pqb为直角三角形．

点评 本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、两点间距离公式、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．